Integración numérica

Para calcular la integral definida por el método del rectángulo, el método trapezoidal, el método de Simpson u otros métodos de cuadratura de Newton-Cotes.

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Los métodos numéricos se pueden utilizar para la aproximación de valores integrales definidos. La integración numérica se utiliza en caso de imposibilidad de evaluar la antiderivada analíticamente y luego calcular la integral definida utilizando el axioma de Newton-Leibniz.

La integración numérica de una función de un solo argumento se puede representar como el cálculo del área (o cuadratura) de un trapecio curvilíneo delimitado por la gráfica de una función determinada, el eje x y las líneas verticales que limitan los límites dados.
La función integrando se reemplaza por una más simple (la cual tiene propiedades antiderivadas) que se aproxima al integrando con una precisión dada. Reemplazar el integrando con los polinomios de Lagrange evaluados en puntos igualmente espaciados en límites dados da lugar a las fórmulas de integración de Newton-Cotes, tales como:

  1. Regla del rectángulo
  2. Regla trapezoidal
  3. Reglas de Simpson

PLANETCALC, Integración numérica mediante fórmulas de Newton-Cotes.

Integración numérica mediante fórmulas de Newton-Cotes.

Dígitos después del punto decimal: 6
Fórmula
 
Valor integral definido
 
Función de la cuadratura
 
Error de método
 
Intervalo
 
Vista geométrica integral
Fuente de la fórmula
 

Integración numérica usando fórmulas de Newton-Cotes

Usando las fórmulas de Newton-Cotes, el intervalo de integración se divide por los puntos x1, x2,x3..xn en segmentos de líneas iguales.
La función Integrando es reemplazada por los polinomios de Lagrange de diferente grado, cuya integración produce las fórmulas de integración numérica con diferente grado de precisión.

Finalmente, la aproximación integral definida se evalúa como la suma ponderada de los valores del integrando evaluados para los puntos de integración:
I\approx \sum _{{i=1}}^{{n}}{W_i}f(x_{i}) R_n

  • Wi - pesos, determinados por métodos de integración
  • Rn - resto o error.
  • n - número de puntos de integración.
  • La suma de la fórmula es una regla de cuadratura.

El Manual Funciones de cuadratura de Newton-Cotes, contiene algunas de las reglas de cuadratura de Newton-Cotes que se mencionan comúnmente para la integración en intervalos igualmente espaciados. Cualquier usuario registrado puede agregar una nueva regla de cuadratura en este manual.

Límite de segmentos de integración

Dependiendo de los puntos finales que utiliza un método de integración, se distinguen las reglas abiertas o cerradas.

Las reglas abiertas no usan puntos finales. Los métodos de integración abiertos se pueden usar en casos en los que la función integrando no está definida en algunos puntos.
Por ejemplo, usando el método del rectángulo, podemos aproximar el valor integral definido ln(x) en el segmento de línea (0,1), a pesar de que ln(0) no está definido.

Por el contrario, las reglas cerradas usan los puntos finales así como los puntos medios para evaluar los valores de la función integrando.

Las reglas medio abiertas (por ejemplo, la regla del rectángulo izquierdo o la regla del rectángulo derecho) también se pueden usar para aproximar la integral en el segmento de línea abierto desde el único lado.

Error de aproximación de la regla de Newton-Cotes

Comúnmente, debido al número creciente de puntos de integración (con el aumento del grado polinomial), también aumenta la precisión. Pero para algunas funciones no es cierto.

Karl Runge, matemático alemán, analizó esta rareza primero.
Notó que el polinomio de interpolación con un intervalo igualmente espaciado para la función \frac{1}{1 25x^2} deja de converger en el rango de 0.726 .. ≤ | x | <1 con aumento de grado polinomial.
Se puede explicar mirando la ecuación de error. La fórmula incluye el intervalo h y el factorial n!, ambos aumentan la precisión si n tiende a infinito, pero el valor de la parte derivada de n-grados, que disminuye la precisión en la ecuación de error, aumenta más rápidamente para funciones particulares.

Además, al aumentar el grado polinomial de interpolación, obtenemos pesos negativos, lo que puede aumentar el error computacional. La calculadora muestra los resultados de la función de cuadratura intermedia en forma gráfica. Para los métodos que tienen solo pesos Wi positivos, se parece a la representación de suma de Riemann. Si existen pesos Wi negativos, el gráfico tiene mitades positivas y negativas que son más amplias que el intervalo de integración. Este efecto se puede ver aquí: Regla de Newton-Cotes cerrada con 11 nodos

Teniendo en cuenta estos argumentos, no se recomienda usar reglas con grado polinomial> 10.

Para aumentar la precisión, el intervalo de integración se puede dividir en algunas partes, para cada una de las cuales la integral definida se puede calcular por separado con cualquier regla de integración. El valor integral final es la suma de la integral para cada intervalo parcial.

Para evaluar nuevos métodos de integración basados ​​en intervalos espaciados de manera equitativa, puede usar la siguiente calculadora que tiene un cuadro de entrada para ingresar pesos:Integración numérica con coeficientes explícitos de las fórmulas de Newton-Cotes

Los pesos son números reales separados por comas o fracciones comunes. El primer coeficiente en la lista de pesos es un multiplicador común. Ingrese 1 allí si no hay un multiplicador común.

Por ejemplo, los pesos 3/8,1,3,3,1 se pueden usar para la Regla de Simpson 3/8.

La aproximación integral definida con las reglas de integración de Newton-Cotes está lejos de ser ideal. Para aplicaciones reales, debe usar mejores métodos, como por ejemplo la Regla de Gauss-Kronrod. Esperemos que ilustremos todos estos conceptos con nuevas calculadoras y artículos en un futuro más cercano.


Literatura:

  1. N.S. Bakhvalov Métodos numéricos, 2012
  2. U.G.Pirumov Métodos numéricos, 2006
  3. https://www.amazon.com/gp/product/0136272584/ref=as_li_qf_sp_asin_il_tl? Ie = UTF8 & tag = planetcalcation & recreation; Kahaner, C.Moler, S.Nash Métodos numéricos y software, 1989
    4.R.V. Hamming Métodos numéricos para científicos e ingenieros, 1972
    5.M. Abramovitz и I. Stegun Manual de Funciones Matemáticas con Fórmulas, Gráficos y Tablas Matemáticas, 1973
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