Métodos Runge-Kutta explícitos

Esta calculadora online implementa varios métodos Runge-Kutta explícitos para que pueda comparar cómo resuelven la ecuación diferencial de primer grado con un valor inicial dado.

Los métodos Runge-Kutta son los métodos para la solución numérica de la ecuación diferencial ordinaria (diferenciación numérica). Los métodos parten de un punto inicial y luego dan un paso corto para encontrar el siguiente punto de solución. Aquí puede encontrar la implementación en línea de 11 métodos explícitos de Runge-Kutta enumerados aquí, incluyendo el Método de Euler, Método del punto medio y Método de Runge–Kutta.

Para utilizar la calculadora debe tener la ecuación diferencial en la fórmula y \prime = f(x,y) e introducir el lado derecho de la ecuación - f(x,y) en el campo y \prime siguiente.
También se necesita el valor inicial como y(x_0)=y_0 y el punto x para el que se quiere aproximar el valor de y.
El último parámetro de un método -el tamaño de un paso- es literalmente un paso para calcular la siguiente aproximación de una curva de función. Si conoce la solución exacta, puede introducirla también, y la calculadora calcula un error absoluto de cada método.

Puede encontrar una teoría debajo de la calculadora.

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Métodos Runge-Kutta explícitos

Dígitos después del punto decimal: 6
Ecuación diferencial
 
Solución exacta
 
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Métodos Runge-Kutta explícitos

La fórmula general del método Runge-Kutta explícito es
y_{n+1}=y_n+h \sum_{i=1}^s b_i k_i
donde
k_i=f(x_n+c_i h, y_n+h\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}k_j)

Un método concreto se especifica proporcionando el número entero s (el número de etapas), y los coeficientes a_{ij} (para 1 ≤ j < i ≤ s), llamado matriz de Runge-Kutta, b_i (for i = 1, 2, ..., s), llamado pesos, y c_i (for i = 2, 3, ..., s), llamado nodos.
Los coeficientes suelen organizarse en una forma mnemotécnica, conocida como tabla de Butcher (por John C. Butcher):

\begin{array}{c|cccc}c_1    & a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1s}\\c_2    & a_{21} & a_{22}& \dots & a_{2s}\\\vdots & \vdots & \vdots& \ddots& \vdots\\c_s    & a_{s1} & a_{s2}& \dots & a_{ss} \\\hline& b_1    & b_2   & \dots & b_s\\\end{array}

Estos son algunos ejemplos de una tabla de Butcher con s iguales a 1, 2, 3 y 4 respectivamente:

Método de Euler

\begin{array}{c|c}0 & 0 \\\hline& 1 \\\end{array}

Método del punto medio explícito

\begin{array}{c|cc}0   & 0   & 0  \\1/2 & 1/2 & 0  \\\hline& 0   & 1  \\\end{array}

Runge-Kutta de tercer orden que preserva la estabilidad (SSPRK3)

{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1&1&0&0\\1/2&1/4&1/4&0\\\hline &1/6&1/6&2/3\\\end{array}}}

Método de Runge-Kutta de cuarto orden

\begin{array}{c|cccc}0   & 0   & 0   & 0   & 0\\1/2 & 1/2 & 0   & 0   & 0\\1/2 & 0   & 1/2 & 0   & 0\\1   & 0   & 0   & 1   & 0\\\hline& 1/6 & 1/3 & 1/3 & 1/6\\\end{array}
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