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Método de iteración del punto fijo

Esta calculadora en línea facilita el uso del método de iteración del punto fijo (método sucesivo de aproximación).

En análisis numérico, el método de iteración del punto fijo es un método para calcular puntos fijos de funciones iterativas.

Para ser más específicos, dada una función f definida para los números reales con valores reales y dado un punto x_0 en el dominio de f, la iteración de punto fijo es

x_{n+1}=f(x_n), \, n=0, 1, 2, \dots

El cual nos da la secuencia x_0, x_1, x_2, \dots la cual se espera converja al punto x. Si f es continua, entonces podemos probar que x es un punto fijo de f, e.j., f(x)=x.

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Este método en realidad es un tipo de método de aproximación, un método para resolver problemas matemáticos utilizando una secuencia de aproximaciones que convergen a una solución y se construye recursivamente -- es decir, cada nueva aproximación se calcula en base a la aproximación anterior; la elección de la aproximación inicial es, hasta cierto punto, arbitraria. El método se utiliza para aproximar raíces algebraicas y ecuaciones transcendentales. También se utiliza para probar la existencia de una solución y para aproximar ecuaciones diferenciales, integrales e integro-diferenciales.

El uso del método es simple:

  • se asume un valor aproximado para la variable (valor inicial)
  • se resuelve la variable
  • se utiliza la respuesta como el segundo valor aproximado y se vuelve a resolver la ecuación
  • se repite el proceso hasta que la precisión deseada para la variable se obtiene

Esto es exactamente lo que hace la calculadora a continuación. Realiza cálculos iterativos de x dada una fórmula y se detiene cuando dos valores sucesivos se diferencian por una cantidad menor a la precisión dada.

También vale la pena mencionar que la función utilizada como ejemplo;
x=\frac{1}{2}(\frac{a}{x}+x),
es la función iterativa para calcular la raíz cuadrada de a. Tal vez sea el primer algoritmo utilizado para calcular raíces cuadradas y se conoce como el "Método babilónico", nombrado así por los Babilonios, o el "Método de Hero", nombrado por el matemático Griego del primer siglo, Hero de Alexandria, quien dio la primera explicación de este método.

PLANETCALC, Método de iteración del punto fijo

Método de iteración del punto fijo

Las aproximaciones se detienen cuando la diferencia entre dos valores sucesivos de x es menor al porcentaje especificado

Dígitos después del punto decimal: 5
Fórmula
 
 
Aproximaciones sucesivas

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