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Resolución de un sistema de ecuaciones no lineales

Resolución de un sistema de ecuaciones no lineales

Esta calculadora en línea intenta encontrar la solución a un sistema de ecuaciones no lineales utilizando el método de búsqueda de coordenadas.

Las ecuaciones se definen mediante fórmulas, que pueden incluir operaciones matemáticas, constantes y funciones matemáticas, una fórmula por línea. La sintaxis de las fórmulas se describe en la calculadora. Las descripciones del método de solución también se pueden encontrar allí.

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Resolución de un sistema de ecuaciones no lineales

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Sintaxis de las fórmulas

Múltiples variables (denotadas como x1, x2, etc.), el número pi ( pi), los siguientes operadores matemáticos están permitidos en una fórmula:
+ - suma
- - resta
* - multiplicación
/ - división
^ - aumento de grado

y las siguientes funciones:

  • sqrt - raíz cuadrada
  • rootp - raíz de grado p, por ejemplo root3(x) - raíz cúbica
  • exp - e hasta un grado especificado
  • lb - logaritmo en base 2.
  • lg - logaritmo en base 10.
  • ln - logaritmo natural (base e)
  • logp - logaritmo en base p, por ejemplo log7(x) - logaritmo en base 7.
  • sin - seno
  • cos - coseno
  • tg - tangente
  • ctg - cotangente
  • sec
  • cosec
  • arcsin - arcoseno
  • arccos - arccoseno
  • arctg - arctangente
  • arcctg - arccotangente
  • arcsec
  • arccosec - arccosecance
  • versin
  • vercos - coversinus
  • haversin - haversinus
  • exsec
  • excsc
  • sh - seno hiperbólico
  • ch - coseno hiperbólico
  • th - tangente hiperbólica
  • cth - cotangente hiperbólica
  • sech - secante hiperbólica.
  • csch - cosecante hiperbólica
  • abs - valor absoluto

    sgn - signo

Resolución de sistemas de ecuaciones no lineales

La calculadora anterior utiliza un método numérico para encontrar la solución a un sistema de ecuaciones no lineales. He aquí algunas definiciones para que quede más claro.

Una ecuación no lineal es una ecuación de la forma varphi \left(x\right)=0, donde varphi \left(x\right) es alguna función no lineal. Una función no lineal es cualquier cosa distinta de la forma y = kx + b.
Las ecuaciones no lineales tienen forma algebraica y trascendental. La forma general de las ecuaciones algebraicas es a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n = 0. Las ecuaciones trascendentales utilizan funciones como exponente, seno, logaritmo, etc.

Los métodos para resolver este tipo de ecuaciones se dividen en exactos, en los que se puede encontrar una solución analítica, es decir, en los que se puede escribir la solución como una fórmula (como la fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática) e iterativos (o numéricos). Se sabe1 que para las ecuaciones algebraicas de grado superior a 4 no existe solución analítica. En el caso general de las ecuaciones trascendentales tampoco existe una solución analítica, por lo que en la mayoría de los casos la solución sólo puede encontrarse mediante métodos numéricos. En el caso de los métodos numéricos, la precisión está predeterminada y se buscan las raíces de la ecuación con la precisión dada.

Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema de la forma
varphi_1 \left(x_1, x_2, ..., x_n\right)=0\\\\\varphi_2 \left(x_1, x_2, ..., x_n\right)=0\...\\\\varphi_n \left(x_1, x_2, ..., x_n\right)=0.
La solución de un sistema de este tipo es un vector X de dimensión n.

Los métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales son, por ejemplo, el método de las iteraciones simples (o el método de Jacobi) y el método de Newton. El método de iteraciones simples requiere la transformación de las ecuaciones originales y el cálculo de la norma de la matriz de Jacobi, mientras que el método de Newton (también iterativo) requiere el cálculo de la matriz inversa de Jacobi. Así, en cada paso de las iteraciones hay que realizar bastantes cálculos. Sin embargo, existe otra familia de métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales, los llamados métodos de optimización, uno de los cuales, el método de búsqueda de coordenadas, se utiliza en la calculadora anterior.

La idea de los métodos de optimización es sustituir el problema inicial de búsqueda de raíces por un problema de optimización. A partir del sistema inicial de ecuaciones no lineales, se crea un funcional F:
F(x_1, x_2, ..., x_n)=\varphi_1^2 \left(x_1, x_2, ..., x_n\right)+\varphi_2^2 \left(x_1, x_2, ..., x_n\right)+\varphi_n^2 \left(x_1, x_2, ..., x_n\right)
y se resuelve el problema de minimización
F(x_1, x_2, ..., x_n)=min \equiv 0

Se puede observar que, a diferencia de la solución del sistema de ecuaciones, la solución del problema de minimización se encontrará en cualquier caso, aunque no sea igual a cero ("atascado" en el mínimo local). Existen bastantes métodos de optimización, aquí utilizaremos probablemente uno de los métodos más sencillos: el método de búsqueda por coordenadas.

Algoritmo del método:

  1. La precisión inicial ε
  2. Se elige la aproximación inicial X₀, por ejemplo, el vector cero. Si hay varias raíces, la elección de la aproximación inicial determina realmente qué raíz se encontrará.
  3. Se busca un nuevo mínimo local en una de las coordenadas
  4. Se forma un nuevo vector Xᵢ.
    X_i = (x_{1_i}, x_{2_i}, ..., x_{n_i})
  5. La condición de terminación se comprueba si
    \left|F(X_i) - F(X_{i-1})\right| < \epsilon
    entonces se encuentra la solución con la precisión requerida, en caso contrario se elige otra coordenada y se vuelve a buscar el mínimo local (ir al paso 3).

  1. Teorema de Abel sobre la insolubilidad de las ecuaciones en radicales ↩

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Timur2024-04-21 23:03:16

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