Ecuaciones Diofánticas Lineales

Esta calculadora resuelve ecuaciones diofánticas lineales.

Como de costumbre, primero está la calculadora y la teoría va por debajo de ella.

PLANETCALC, Ecuaciones diofánticas lineales

Ecuaciones diofánticas lineales

Ecuación
 
Todas las soluciones para x
 
Todas las soluciones para y
 
x
 
y
 

Ya que todo esto es cuestión de matemáticas, copio algo de contenido de Wikipedia para empezar.

En matemáticas, una ecuación diofántica es una ecuación polinómica con dos o más incógnitas de tal manera que solo se buscan o estudian las soluciones enteras (una solución entera es una solución tal que todas las incógnitas toman valores enteros). Una ecuación diofántica lineal es una ecuación entre dos sumas de monomios de grado cero o uno.

La ecuación diofántica lineal más simple toma la forma

ax + by = c,

donde a, b y c son números enteros, x, y — incógnitas.

Las soluciones están completamente descritas por el siguiente teorema: Esta ecuación diofántica tiene una solución (donde x e y son números enteros) si c es un múltiplo del máximo común divisor de a y b. Además, si (x, y) es una solución, entonces las otras soluciones tienen la forma (x + kv, y - ku), donde k es un número entero arbitrario, y u y v son los cocientes de a y b (respectivamente) por el máximo común divisor de a y b.

Para encontrar la solución, se puede utilizar el Algoritmo de Euclides Extendido (excepto para a = b = 0 donde o bien hay un número ilimitado de soluciones o ninguna).

Si a y b son números enteros positivos, podemos encontrar su MCD utilizando el Algoritmo de Euclides Extendido, junto con x_g и y_g, por lo que:

ax_g + by_g = g.

Si c es un múltiplo de g, la ecuación diofántica ax + by = c tiene solución, de lo contrario, no hay solución.

Es decir, si c es un múltiplo de g, entonces

a x_g (\frac{c}{g}) + b y_g (\frac{c}{g})=c

y una de las posibles soluciones es:

x_0 = x_g (\frac{c}{g})

y_0 = y_g(\frac{c}{g})

Si a o b es negativo, podemos resolver la ecuación usando su módulo, y luego cambiar el signo en consecuencia.

Si conocemos una de las soluciones, podemos encontrar su forma general.

Dejemos que g = GCD(a,b), y tenemos:

ax_0 + by_0 = c.

Al sumar \frac{b}{g} con x_0 y restar \frac{a}{g} de y_0, obtenemos:

a(x_0 + \frac{b}{g}) + b(y_0 - \frac{a}{g}) = ax_0+by_0 + \frac{ab}{g}-\frac{ba}{g}=c

Así que, cualquier número como este:
x = x_0 + k \frac{b}{g}

y = y_0 - k \frac{a}{g},

donde k es un número entero, puede ser la solución de la ecuación diofántica lineal.

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