Calculadora en línea: Calculadora de vectores propios

Esta es la última calculadora dedicada a los vectores y valores propios. La primera fue la calculadora de polinomios característicos, que produce una ecuación característica adecuada para su posterior procesamiento. La segunda calculadora - la calculadora de valores propios resuelve esa ecuación para encontrar los valores propios (usando métodos analíticos, por eso funciona solo hasta el 4º grado), y la calculadora de abajo calcula los vectores propios para cada valor propio encontrado. Debajo de la calculadora se pueden encontrar algunas teorías.

Calculadora de vectores propios

Matriz cuadrada

Cálculo preciso

Dígitos después del punto decimal: 2

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Cómo encontrar vectores propios

Permíteme repetir la definición de vectores propios y valores propios de la calculadora de valores propios.

Hay vectores para los que la transformación matricial produce el vector que es paralelo al vector original.

$Av=\lambda v$ ,

donde $\lambda$ es algún número escalar.

Estos vectores se llaman los vectores propios de A, y estos números se llaman los valores propios de A.

Utilizamos la siguiente forma de la ecuación anterior: $(A-\lambda I)v=0$ , donde I es la matriz identidad, para encontrar los valores propios resolviendo la ecuación característica

$det(A-\lambda I)=0$ .

Después de encontrar los valores propios, podemos encontrar los vectores propios. Debemos introducir cada valor propio concreto en la ecuación $(A-\lambda I)v=0$ y resolverla para v. Esto significa que simplemente tenemos que resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales (en forma matricial):

$\begin{bmatrix}a_{11}-\lambda&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}-\lambda&\dots &a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}-\lambda\end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ ... \\ v_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{bmatrix}$

Este es un sistema homogéneo de ecuaciones lineales, y más aún, sus ecuaciones NO son independientes. Es decir, el sistema tiene infinitas soluciones. Esto se debe a que tenemos una familia de vectores propios (incluyendo el vector cero), o espacio propio, para cada valor propio. Por lo tanto, cuando se le pide encontrar vectores propios para la matriz, realmente necesita conseguir alguna solución "hermosa" para un sistema de ecuaciones lineales obtenidas para cada valor propio, es decir, algunos vectores propios de muestra sin posibles fracciones y con pequeños enteros positivos.

En la mayoría de los casos, el valor propio produce un sistema homogéneo con una variable independiente. Sin embargo, en algunos casos el valor propio tiene una multiplicidad superior a 1 (por ejemplo, en el caso de las raíces dobles). En tales casos, un sistema homogéneo tendrá más de una variable independiente, y tendrá varios vectores propios linealmente independientes asociados a dicho valor propio - uno por cada variable independiente.

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