Calculadora en línea: Polinomio de forma estándar

La calculadora presenta un polinomio multivariado en la forma estándar (expande los paréntesis, exponencia y combina términos similares). Las variables del polinomio se pueden especificar en letras inglesas minúsculas o utilizando la forma de tupla de exponentes. Por ejemplo, las dos notaciones siguientes son iguales: 3a^2bd + c y 3 [2 1 0 1] + [0 0 1]. Puede elegir la representación de las variables de salida en la forma simbólica, la forma de variables indexadas o la tupla de exponentes. La calculadora también da el grado del polinomio y el vector de grados de los monomios. Los coeficientes del polinomio resultante pueden calcularse en el campo de los números racionales o reales.

Polinomio de forma estándar

Polinomio multivariado

Orden monomial

Variables

Normalizar

Cálculo preciso

Exact

Redondeado

Resultado

Grado del polinomio

Grados monomiales

Monomio

Un monomio es un producto de potencias de varias variables x_i con exponentes enteros no negativos a_i:
$x^{\alpha}={x_1}^{\alpha_1}{x_2}^{\alpha_2}{x_3}^{\alpha_3} ... {x_n}^{\alpha_n}$
Si el número de variables es pequeño, las variables del polinomio pueden escribirse con letras latinas. Por ejemplo: x₁²x₂ y x²y son una notación equivalente del monomio de dos variables.
Un monomio también se puede representar como una tupla de exponentes:
$\alpha=({\alpha_1},{\alpha_2},{\alpha_3}, ... ,{\alpha_n})$
Por ejemplo, el monomio x²y³z puede representarse como una tupla: (2,3,1).
El grado del monomio es la suma de todos los exponentes variables:
$\mid \alpha \mid = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + ... + \alpha_n$
Por ejemplo, el grado del monomio: x²y³z es 2+3+1 = 6

Polinomio

Un polinomio es una suma finita de monomios multiplicados por coeficientes c_I:
$f=\sum _I c_I {x_1}^{\alpha_1}{x_2}^{\alpha_2}{x_3}^{\alpha_3} ... {x_n}^{\alpha_n}$
Un polinomio de grado deg(f) es el máximo de monomios de grado |α| con coeficientes no nulos.
A diferencia de los polinomios de una variable, los polinomios multivariados pueden tener varios monomios con el mismo grado.
En este sentido, se plantea la cuestión de determinar el orden en el conjunto de términos del polinomio.

Orden monomial¹

Hay varias formas de especificar el orden de los monomios.

Orden Lexicográfico

El orden monomial más sencillo es el lexicográfico. En este caso, la coordenada más a la izquierda no nula del vector obtenido al restar las tuplas de exponentes de los monomios comparados es positiva:
$x^{\alpha}>_{lex}x^{\beta} \Leftarrow {\alpha}>{\beta}$
Ejemplo de orden lexicográfico:
$x^{\alpha}=x^2y^3z >_{lex} x^{\beta}=x^2y^2z^3, \\\alpha-\beta=(2,3,1)-(2,2,3)=(0,1,-2)$
El primer monomio x^α es lexicográficamente mayor que el segundo x^β, ya que tras restar las tuplas de exponentes obtenemos (0,1,-2), donde la coordenada más a la izquierda no nula es positiva.

Orden Lexicográfico Graduado

El orden lexicográfico graduado viene determinado principalmente por el grado del monomio. Si el grado es mayor, el monomio también se considera mayor. En el caso de grados iguales, se aplica la comparación lexicográfica:
$x^{\alpha}>_{grlex}x^{\beta} \Leftarrow \begin{cases} \mid{\alpha}\mid>\mid{\beta}\mid \\ \mid{\alpha}\mid=\mid{\beta}\mid, {\alpha}>_{lex} {\beta} \end{cases}$
Ejemplos de orden lexicográfico graduado:
a)
$x^{\beta}=x^2y^2z^3 >_{grlex} x^{\alpha}=x^2y^3z , \\ \mid\beta\mid = 7 > \mid\alpha\mid=6$
El monomio x^β es mayor que x^α, ya que el grado |β|=7 es mayor que el grado |α|=6.
b)
$x^{\alpha}=x^2y^3z >_{grlex} x^{\gamma}=xy^5 , \\ \mid\alpha\mid = \mid\gamma\mid=6, {\alpha}>{\gamma}$
El monomio x^α es mayor que x^γ, ya que son del mismo grado, pero el primero es mayor que el segundo lexicográficamente.

Orden Reverso Lexicográfico Graduado

El orden reverso lexicográfico graduado es similar al anterior. Si el grado es mayor, entonces el monomio también se considera mayor. El monomio es mayor si la coordenada más a la derecha no nula del vector obtenido al restar las tuplas de exponentes de los monomios comparados es negativa en el caso de grados iguales.
Ejemplos de comparación entre órdenes reversos lexicográficos graduados:
a)
$x^{\beta}=x^2y^2z^3 >_{grevlex} x^{\alpha}=x^2y^3z , \\ \mid\beta\mid = 7 > \mid\alpha\mid=6$
El monomio x^β es mayor que x^α, ya que el grado |β|=7 es mayor que el grado |α|=6.
b)
$x^{\gamma}=xy^5 >_{grevlex} x^{\alpha}=x^2y^3z , \\ \mid\alpha\mid = \mid\gamma\mid=6, {\gamma}-{\alpha}=(1,5,0)-(2,3,1)=(-1,2,-1)$
El monomio x^γ es mayor que x^α, ya que sus grados son iguales, pero la resta de tuplas de exponentes da (-1,2,-1) y vemos que el valor más a la derecha está por debajo del cero.

David Cox, John Little, Donal O’Shea Ideales, Variedades y Algoritmos. Una Introducción a la Geometría Algebraica Computacional y el Álgebra Conmutativa, Tercera Edición, 2007, Springer ↩

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