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El discriminante

Esta calculadora en línea calcula el discriminante del polinomio cuadrático así como los polinomios de mayor grado.

En álgebra, el discriminante de un polinomio es una función polinómica de sus coeficientes, lo que permite deducir algunas propiedades de las raíces sin computarlas.1

Usted probablemente conoce la reconocida fórmula del discriminante para el polinomio cuadrático ax^2+bx+c, que es b^2-4ac y usa esta fórmula para calcular las raíces.

Sin embargo, el discriminante nos permite deducir algunas propiedades de las raíces sin computarlas. En el caso de un polinomio cuadrático, es cero sólo si el polinomio tiene una doble raíz, es positivo si el polinomio tiene dos raíces reales, y es negativo si las raíces son complejas.

La calculadora de abajo calcula el discriminante y usted puede encontrar un poco más de teoría sobre los discriminantes justo debajo de ella.

PLANETCALC, El discriminante del polinomio cuadrático

El discriminante del polinomio cuadrático

Polinomio cuadrático
 
Discriminante
 
Raíces del polinomio
 

Discriminante

El discriminante para un polinomio de grado n: A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0} puede definirse tanto en términos del cociente de la resultante como en términos de las raíces.

En términos de las raíces, el discriminante es igual a
{Disc}_{x}(A)={a_n}^{2n-2}\prod_{i < j}(r_{i}-r_{j})^{2}=(-1)^{{\frac{1}{2}}n(n-1)}{a_n}^{2n-2}\prod_{i\neq j}(r_{i}-r_{j})

Técnicamente, se puede derivar la fórmula de la ecuación cuadrática sin saber nada del discriminante. Y luego, si se conectan las expresiones derivadas para las raíces en la definición anterior, se terminará con el b^2-4ac.

En términos del cociente de la resultante, el discriminante es igual a
{Disc} _{x}(A)={\frac {(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}}{a_{n}}}\operatorname {Res} _{x}(A,A')
donde Res es la resultante de A y la primera derivación de A'. La resultante, en resumen, es el determinante de la Matriz de Sylvester de A y A'.

En el caso del polinomio cuadrático, la A es ax^2+bx+c y la A' es 2ax+b. Si de hecho usted escribe la matriz de Sylvester para estos dos polinomios y deriva el determinante, terminará de nuevo con el b^2-4ac.

Cálculo del discriminante de grado superior

Usando la segunda definición, usted puede derivar fórmulas para el polinomio de grados superiores (el enlace de abajo tiene fórmulas para el grado 3 y el grado 4) pero son bastante complejas.
La secuencia OEIS A007878 enumera 5 términos para polinomios de 3 grados, 16 términos para 4 grados, 59 términos para 5 grados, y finalmente 3815311 términos para polinomios de 12 grados.
La calculadora siguiente calcula el discriminante de un polinomio de grado superior de la resultante de un polinomio y su derivada.

PLANETCALC, Discriminante

Discriminante

Coeficientes del polinomio dividendo, separados por espacios, en orden de mayor a menor grado
Discriminante
 
Polinomio de entrada
 
Polinomio derivado
 

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