Método del punto medio

Esta calculadora en línea implementa un método directo de punto medio, también conocido como método de Euler modificado, que es un método numérico de segundo orden para resolver una ecuación diferencial de primer grado con un valor inicial dado.

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Timur

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Juan Manuel Gimenez

Juan Manuel Gimenez

Creado: 2021-05-06 15:40:30, Última actualización: 2021-05-06 15:40:30
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Puede utilizar esta calculadora para resolver una ecuación diferencial de primer grado con un valor inicial dado utilizando el método explícito del punto medio, también conocido como método de Euler modificado.

Para utilizar este método, debe tener la ecuación diferencial en la forma
y \prime = f(x,y)
e introducir el lado derecho de la ecuación f(x,y) en el campo y' de abajo.

También necesita el valor inicial como
y(x_0)=y_0
y el punto x para el que se quiere aproximar el valor de y.

El último parámetro de un método -el tamaño de un paso- es un paso a lo largo de la línea tangente para calcular la aproximación sucesiva de una curva de función.

Si conoce la solución exacta de una ecuación diferencial de la forma y=f(x), también puede introducirla. En este caso, la calculadora también traza la solución junto con la aproximación en la gráfica y calcula el error absoluto para cada paso de aproximación.

La explicación del método se encuentra debajo de la calculadora.

PLANETCALC, Método del punto medio

Método del punto medio

Dígitos después del punto decimal: 2
Ecuación diferencial
 
Valor aproximado de y
 
Aproximación
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Método del punto medio

Al igual que con el método de Euler, utilizamos la relación
y_{i+1}=y_i + f \Delta x

pero calculamos f de forma diferente. En lugar de utilizar la recta tangente en el punto actual para avanzar hasta el siguiente punto, utilizamos la recta tangente en el punto medio, es decir, un valor aproximado de la derivada en el punto medio entre el punto actual y el siguiente. Para ello, aproximamos el valor de y en el punto medio como
y_n+\frac{\Delta x}{2}f(x_n, y_n)

Y nuestra relación cambia de
y_{i+1}=y_i + f(x_i,y_i) \Delta x

a

y_{i+1}=y_i + f(x_i+\frac{\Delta x}{2}, y_i+\frac{\Delta x}{2}f(x_i, y_i)) \Delta x

El error local en cada paso del método del punto medio es de orden O\left(h^3\right), dando un error global de orden O\left(h^2\right). Por lo tanto, aunque es más intensivo computacionalmente que el método de Euler, el error del método del punto medio generalmente disminuye más rápido a medida que h \to 0.1

El método es un ejemplo de una familia de métodos de orden superior conocidos como métodos de Runge-Kutta.

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