Calculadora en línea: Método del punto medio

Puede utilizar esta calculadora para resolver una ecuación diferencial de primer grado con un valor inicial dado utilizando el método explícito del punto medio, también conocido como método de Euler modificado.

Para utilizar este método, debe tener la ecuación diferencial en la forma
$y \prime = f(x,y)$
e introducir el lado derecho de la ecuación f(x,y) en el campo y' de abajo.

También necesita el valor inicial como
$y(x_0)=y_0$
y el punto $x$ para el que se quiere aproximar el valor de $y$ .

El último parámetro de un método -el tamaño de un paso- es un paso a lo largo de la línea tangente para calcular la aproximación sucesiva de una curva de función.

Si conoce la solución exacta de una ecuación diferencial de la forma y=f(x), también puede introducirla. En este caso, la calculadora también traza la solución junto con la aproximación en la gráfica y calcula el error absoluto para cada paso de aproximación.

La explicación del método se encuentra debajo de la calculadora.

Método del punto medio

Inicial x

Inicial y

Punto de aproximación

Tamaño del paso

Solución exacta (opcional)

Cálculo preciso

Dígitos después del punto decimal: 2

Ecuación diferencial

Valor aproximado de y

Aproximación

El archivo es muy grande; La ralentización del navegador puede ocurrir durante la carga y creación.

Método del punto medio

Al igual que con el método de Euler, utilizamos la relación
$y_{i+1}=y_i + f \Delta x$

pero calculamos f de forma diferente. En lugar de utilizar la recta tangente en el punto actual para avanzar hasta el siguiente punto, utilizamos la recta tangente en el punto medio, es decir, un valor aproximado de la derivada en el punto medio entre el punto actual y el siguiente. Para ello, aproximamos el valor de y en el punto medio como
$y_n+\frac{\Delta x}{2}f(x_n, y_n)$

Y nuestra relación cambia de
$y_{i+1}=y_i + f(x_i,y_i) \Delta x$

$y_{i+1}=y_i + f(x_i+\frac{\Delta x}{2}, y_i+\frac{\Delta x}{2}f(x_i, y_i)) \Delta x$

El error local en cada paso del método del punto medio es de orden $O\left(h^3\right)$ , dando un error global de orden $O\left(h^2\right)$ . Por lo tanto, aunque es más intensivo computacionalmente que el método de Euler, el error del método del punto medio generalmente disminuye más rápido a medida que $h \to 0$ .¹