El número racional como una fracción

Esta calculadora en línea escribe el número racional como una fracción (la proporción de dos números enteros), utilizando la fórmula de la secuencia geométrica infinita.

Cuando empieza a aprender secuencias geométricas, puede encontrarse con un problema formulado así:

Escriba el número racional 0,58333... como la proporción de dos números enteros.

Por supuesto, en este problema de ejemplo se nos pide que convirtamos un decimal que se repite en una fracción. De hecho, la solución de este problema requiere la fórmula de la serie geométrica infinita. Esta calculadora utiliza esta fórmula para averiguar el numerador y el denominador para el decimal de repetición dado. La solución y las fórmulas se describen a continuación de la calculadora.

Note que en el problema anterior, el decimal que se repite se representa informalmente por una elipse (tres puntos ...). En realidad, existen varias convenciones notables para la representación de los decimales repetidos, pero ninguna de ellas es aceptada universalmente. Por ejemplo, en los Estados Unidos, la notación es una línea horizontal (un vinculum) por encima de los dígitos que se repiten, y en algunas partes de Europa, la notación consiste en encerrar los dígitos que se repiten entre paréntesis. La calculadora admite las dos formas de introducir el decimal que se repite: 0,58333... y 0,58(3)

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El número racional como la proporción de dos números enteros

La proporción de dos números enteros
 

Decimal que se repite

Para citar a Wikipedia,1 un decimal recurrente o que se repite es una representación decimal de un número cuyos dígitos son periódicos (repitiendo sus valores a intervalos regulares) y la porción infinitamente repetida no es cero. La secuencia de dígitos infinitamente repetida se denomina factor de repetición. Si el factor de repetición es un cero, esta representación decimal se denomina decimal de terminación, en lugar de decimal de repetición. Se puede demostrar que un número es racional si, y solo si, su representación decimal se repite o termina (es decir, tiene una cantidad finita de dígitos o comienza a repetir una secuencia finita de dígitos). Y un número racional, por definición, es cualquier número que pueda expresarse como el cociente o fracción p/q de dos números enteros, un numerador p y un denominador no cero q.

Si tenemos un decimal de terminación, podemos usar el convertidor de fracción a decimal y de decimal a fracción. En el caso de un decimal que se repite, el cálculo se hace un poco más difícil. Y aquí tenemos secuencias geométricas para ayudar. Usemos el ejemplo anterior y convirtamos el número racional (sabemos que es racional porque su representación decimal se repite) 0,58333... a una fracción usando nuestro conocimiento de las secuencias geométricas.

Presentemos nuestro número racional así:

0,58333...=0,58+0,003+0,0003+0,00003+...

Los números 0,003; 0,0003; 0,00003, etc. pueden ser pensados como los términos de la secuencia geométrica, donde el primer término es 0,003, y la proporción común es 0,1.

De hecho, según la fórmula del n-ésimo término de la secuencia geométrica: a_{n}=a\,r^{n-1}, tenemos
a_1=0,003\\a_2=0,003*0,1=0,0003\\a_3=0,003*0,1^2=0,003*0,01=0,00003\\...

Nótese que estos son términos de la serie geométrica infinita que converge, porque el valor absoluto de una proporción común es menor que uno. La fórmula de la suma para la serie infinita que converge es

S=\frac{a_1}{1-r}

Por lo tanto, para nuestro problema, tenemos
0,003+0,0003+0,00003+...=\frac{0,003}{1-0,1}=\frac{0,003}{0,9}=\frac{3}{900}

Y finalmente,
0,58333...=0,58+0,003+0,0003+0,00003+...=\frac{58}{100}+\frac{3}{900}=\frac{29}{50}+\frac{1}{300}

Podemos agregar y luego simplificar, sabiendo que el mínimo común múltiplo de 50 y 300 es 300, y el máximo común divisor de 175 y 300 es 25
0,58333...=\frac{29}{50}+\frac{1}{300}=\frac{174}{300}+\frac{1}{300}=\frac{175}{300}=\frac{\frac{175}{25}}{\frac{300}{25}}=\frac{7}{12}

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