Calculadora en línea: Calculadora de valores propios

Esta calculadora online calcula los valores propios de una matriz cuadrada resolviendo la ecuación característica. La ecuación característica es la ecuación que se obtiene al igualar el polinomio característico a cero. Así, esta calculadora obtiene primero la ecuación característica utilizando la calculadora de Polinomio Característico, y luego la resuelve analíticamente para obtener los valores propios (reales o complejos). Solo lo hace para matrices 2x2, 3x3 y 4x4, utilizando las calculadoras de solución a ecuaciones cuadráticas, solución a ecuaciones cúbicas y solución a ecuaciones cuárticas. Así, puede encontrar los valores propios de una matriz cuadrada hasta el cuarto grado.

Es muy poco probable que tenga una matriz cuadrada de un grado superior en los problemas matemáticos, porque, según el teorema de Abel-Ruffini, una ecuación polinómica general de grado cinco o superior no tiene solución en radicales, por lo que solo se puede resolver por métodos numéricos. (Nótese que el grado de un polinomio característico es el grado de su matriz cuadrada). Se puede encontrar más teoría debajo de la calculadora.

Calculadora de valores propios

Matriz cuadrada

Cálculo preciso

Dígitos después del punto decimal: 2

Ecuación característica

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Valores propios

Los valores propios son más fáciles de explicar con los vectores propios. Supongamos que tenemos una matriz cuadrada A. Esta matriz define una transformación lineal, es decir, si multiplicamos un vector cualquiera por A, obtenemos el nuevo vector que cambia de dirección:

$Av=b$ .

Sin embargo, hay algunos vectores para los que esta transformación produce el vector que es paralelo al vector original. En otras palabras:

$Av=\lambda v$ ,

donde $\lambda$ es un número escalar.

Estos vectores son vectores propios de A, y estos números son valores propios de A.

Esta ecuación puede reescribirse como

$Av-\lambda v=0 \\ (A-\lambda I)v=0$

donde I es la matriz de identidad.

Como v es distinto de cero, la matriz $A - \lambda I$ es singular, lo que significa que su determinante es cero.

$det(A-\lambda I)=0$ es la ecuación característica de A, y la parte izquierda de la misma se llama polinomio característico de A.

Las raíces de esta ecuación son valores propios de A, también llamados valores característicos, o raíces características.

La ecuación característica de A es una ecuación polinómica, y para obtener los coeficientes polinómicos hay que expandir el determinante de la matriz

$\begin{bmatrix}a_{11}-\lambda&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}-\lambda&\dots &a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}-\lambda\end{bmatrix}$

Para un caso de 2x2 tenemos una fórmula sencilla:

$\lambda^2-trA \lambda+detA=0$ ,

donde trA es el trazo de A (suma de sus elementos diagonales) y detA es el determinante de A. Es decir

$\lambda^2-(a_{11}+a_{22})\lambda+(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})=0$ ,

Para otros casos, puede utilizar el algoritmo de Faddeev-LeVerrier como se hace en la calculadora de polinomio característico.

Una vez obtenida la ecuación característica en forma polinómica, puede resolverla para los valores propios. Y aquí puede encontrar una excelente introducción sobre por qué nos interesa encontrar los valores propios y los vectores propios, y por qué son conceptos muy importantes en el álgebra lineal.

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