Eliminación de Gauss

La calculadora resuelve los sistemas de ecuaciones lineales utilizando el algoritmo de reducción de filas (eliminación de Gauss). La calculadora produce una descripción paso a paso de la solución.

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Los sistemas de ecuaciones lineales:
\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ \dots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m\\ \end{cases}
podrían resolverse utilizando la eliminación de Gauss con ayuda de nuestra calculadora.
 
En la eliminación de Gauss, el sistema de ecuaciones lineales se representa como una matriz aumentada, es decir, la matriz que contiene los coeficientes de ecuacióna_{ij} y términos constantes b_i con dimensiones [n: n +1]:
\begin{array}{|cccc|c|}  a_{11} &  a_{12} &  ... &  a_{1n} &  b_1\\  a_{21} &  a_{22} &  ... &  a_{2n} &  b_2\\  ... &  ... &  ... &  ... &  ...\\  a_{n1} &  a_{n2} &  ... &  a_{nn} &  b_n\\ \end{array}

PLANETCALC, Eliminación de Gauss

Eliminación de Gauss

Dígitos después del punto decimal: 2
Número de soluciones
 
Vector de solución
 

Eliminación de Gauss

El método lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss, el genio matemático alemán del siglo XIX. Gauss no inventó el método. El método de reducción de filas era conocido por los antiguos matemáticos chinos, el cual se describió en Los Nueve Capítulos sobre Arte Matemático, libro de matemáticas chino, publicado en el siglo II.
 

Eliminación hacia adelante

El primer paso de la eliminación de Gauss es obtener la matriz de filas de forma escalonada. La parte inferior izquierda de esta matriz contiene solo ceros, y todas las filas cero están debajo de las filas distintas de cero:
\begin{array}{|cccc|c|}  a_{11} &  a_{12} &  ... &  a_{1n} &  \beta_1\\  0 &  a_{22}  &  ... &  a_{2n} &  \beta_2 \\ 0 & 0 & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 &  0 &  0 & a_{nn} &  \beta_n\\ \end{array}
 
La matriz se reduce a esta forma mediante las operaciones de fila elementales: intercambia dos filas, multiplica una fila por una constante, agrega a una fila un múltiplo escalar de otro.
Nuestra calculadora obtiene la forma escalonada utilizando la resta secuencial de las filas superiores A_i, multiplicada por {a_{ji}} de las filas inferiores A_j, multiplicada por {a_{ii}}, donde i es la fila de coeficiente inicial (fila de pivote).
Es impotente obtener un coeficiente principal distinto de cero. Si se convierte en cero, la fila se intercambia con una inferior con un coeficiente distinto de cero en la misma posición.

Sustitución posterior

Durante esta etapa, las operaciones de fila elemental continúan hasta que se encuentra la solución. Finalmente, se pone la matriz en forma escalonada reducida:
\begin{array}{|cccc|c|}  1 &  0 &  ... &  0 &  \beta_1\\  0 &  1 &  \vdots &  0 &  \beta_2 \\ 0 & 0 & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 &  0 &  0 & 1 &  \beta_n\\ \end{array} ,
.

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