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Descomposición en fracciones parciales

Descomposición en fracciones parciales

La calculadora descompone una fracción polinómica en varias fracciones con un denominador más simple.

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Juan Manuel Gimenez

Juan Manuel Gimenez

Creado: 2021-03-22 20:00:20, Última actualización: 2021-03-22 20:00:20

La calculadora siguiente transforma una fracción polinómica en una suma de fracciones más simples. El numerador de la fracción está definido por una secuencia de coeficientes (empezando por el coeficiente de mayor grado hasta el de menor). El denominador viene dado por un producto de polinomios lineales o cuadráticos elevados a un grado >=1.

PLANETCALC, Descomposición en fracciones parciales

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Coeficientes polinómicos separados en el espacio.

Factores de polinomio denominadores

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La siguiente calculadora proporciona un método más sencillo para introducir el denominador y una lógica más complicada para encontrar la descomposición en fracciones. Pero esta calculadora no funcionará si el polinomio del denominador tiene factores irreducibles de grado > 2 en números racionales.

PLANETCALC, Descomposición en fracciones parciales 2

Descomposición en fracciones parciales 2

Coeficientes polinómicos separados en el espacio.
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Procedimiento de expansión de fracciones parciales

El procedimiento de descomposición en fracciones parciales de un polinomio P(x)/Q(x) es el siguiente:

  • convertir el polinomio del denominador en mónico dividiendo P (x) y Q (x) por el coeficiente principal de Q (x)

\frac{P_1(x)}{Q_1(x)} = \frac{P(x)/lc(Q(x)}{Q(x)/lc(Q(x))}

  • si el grado de P1(x) es mayor o igual que el grado de Q1(x), haga la división larga para encontrar el término polinómico común (cociente) y el nuevo numerador P2(x) (resto), cuyo grado es menor que el de Q1(x):

\frac{P_1(x)}{Q_1(x)} = quot(P_1(x),Q_1(x)) + \frac{P_2(x)}{Q_1(x)}, donde P_2(x)=\frac{rem(P_1(x),Q_1(x))}{Q_1(x)}

  • encontrar la factorización del denominador como factores lineales l para las raíces reales de Q1(x) y factores cuadráticos n para las raíces complejas de Q1(x):

Q_1(x) = (x-x_1)^{k_1}\cdots(x-x_l)^{k_l}(x^2+p_1x+q_1)^{m_1}\cdots(x^2+p_nx+q_n)^{m_n}

  • entonces la descomposición en fracciones parciales toma la forma:

\frac{P_2(x)}{Q_1(x)} = \sum_{j=1}^l\sum_{k=1}^{k_j} \frac{a_{jk}}{(x-x_j)^k} + \sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^{m_j} \frac{b_{jk}x+c_{jk}}{(x^2+p_jx+q_j)^k}, donde ajk, bjk, cjk son números reales. 1

  • reducir el numerador del lado derecho a un denominador común
  • expandir los factores del polinomio del numerador y expresar los coeficientes del polinomio del numerador en términos de la expresión lineal de las constantes desconocidas ajk, bjk, cjk
  • igualar cada coeficiente de P2(x) a la expresión lineal con ajk, bjk, cjk correspondiente al mismo grado de x
  • crear y resolver el sistema de ecuaciones lineales para obtener ajk, bjk, cjk
    Puede activar la opción "Mostrar detalles" de las calculadoras anteriores para estudiar los pasos del procedimiento mediante un ejemplo.

  1. V.A.Zorich Math analysis vol.1 ↩

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Anton2021-03-22 20:00:20

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