Función de Autocorrelación de las Series Temporales (FAS)

Esta calculadora en línea calcula la función de autocorrelación para una serie temporal dada y traza el correlograma

La Autocorrelación, también conocida como correlación en serie, es la correlación de una señal con una copia retrasada de sí misma en función del retraso. Informalmente, es la similitud entre las observaciones en función del retardo entre ellas. El análisis de autocorrelación es una herramienta matemática para encontrar patrones de repetición, como la presencia de una señal periódica oscurecida por el ruido o la identificación de la frecuencia fundamental ausente en una señal implicada por sus frecuencias armónicas. Se utiliza a menudo en el procesamiento de señales para analizar funciones o series de valores, como las señales en el dominio del tiempo.

En estadística, la autocorrelación de un proceso aleatorio es la correlación de Pearson entre los valores del proceso en diferentes momentos, en función de los dos momentos o del desfase temporal. 1

El coeficiente de correlación de Pearson de la muestra entre x e y es:
r=\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i - \bar x)(y_i- \bar y)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{N}(x_i - \bar x)^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{N}(y_i - \bar y)^2}}

En el caso de la autocorrelación, este coeficiente se calcula entre la serie temporal y la misma serie temporal retardada por un número determinado de períodos. Por ejemplo, para un desfase de 1 período, el coeficiente de correlación se calcula entre los primeros valores N-1 , por ejemplo. x_1, ..., x_{N-1} y los siguientes N-1 (valores desplazados en uno), por ejemplo. x_2, ..., x_N.
r_1=\frac{\sum_{i=1}^{N-1}(x_i - \bar{x}_{(1)})(x_{i+1}- \bar{x}_{(2)})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{N-1}(x_i - \bar{x}_{(2)})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{N-1}(x_{i+1} - \bar{x}_{(2)})^2}},
donde \bar{x}_{(1)} es la media de los primeros valores N-1 , y \bar{x}_{(2)} es la media de los últimos valores N-1.

Si ignoramos la diferencia entre \bar{x}_{(1)} y \bar{x}_{(2)}, podemos simplificar la fórmula anterior a
r_1=\frac{\sum_{i=1}^{N-1}(x_i - \bar{x})(x_{i+1}- \bar{x})}{\sum_{i=1}^{N}(x_i - \bar{x})^2}

Esto se puede generalizar para valores separados por k períodos como:
r_k=\frac{\sum_{i=1}^{N-k}(x_i - \bar{x})(x_{i+k}- \bar{x})}{\sum_{i=1}^{N}(x_i - \bar{x})^2}

El valor de r_k se llama coeficiente de autocorrelación en el retardo k. El gráfico de las autocorrelaciones de la muestra r_k versus k (los desfases del tiempo) se denomina correlograma o trazado de autocorrelación.

El correlograma es una herramienta muy utilizada para comprobar la aleatoriedad de un conjunto de datos. El cálculo de las autocorrelaciones permite comprobar la aleatoriedad de los valores de los datos en distintos intervalos de tiempo. Si son aleatorias, estas autocorrelaciones deberían ser cercanas a cero para todas y cada una de las separaciones temporales. Si no son aleatorias, entonces una o más de las autocorrelaciones serán significativamente distintas de cero.

Además, los correlogramas se utilizan en la fase de identificación del modelo para los modelos de series temporales autorregresivas de media móvil de Box-Jenkins. Las autocorrelaciones deben ser casi nulas para la aleatoriedad; si el analista no comprueba la aleatoriedad, la validez de muchas de las conclusiones estadísticas se vuelve sospechosa. El correlograma es una forma excelente de comprobar dicha aleatoriedad.2

Los datos por defecto de la calculadora que se muestran a continuación se obtienen mediante la función sinusoidal ruidosa utilizando el generador de funciones ruidosas, y se puede ver claramente un patrón no aleatorio.

PLANETCALC, Función de Autocorrelación de Series Temporales

Función de Autocorrelación de Series Temporales

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