Calculadora en línea: El Entorno de Pruebas de la Transformada Discreta de Fourier

Esta calculadora es un entorno de pruebas en línea para usar la Transformada Discreta de Fourier (DFT). Utiliza DFT real, es decir, la versión de la Transformada Discreta de Fourier que usa números reales para representar las señales de entrada y salida. DFT es parte del análisis de Fourier, que es un conjunto de técnicas matemáticas basadas en la descomposición de señales en sinusoides. Si bien numerosos libros enumeran gráficos para ilustrar DFT, siempre me pregunté cómo se verían estas sinusoides o cómo se cambiarán si modificamos un poco la señal de entrada. Ahora este entorno de pruebas puede responder a tales preguntas. Por defecto, está lleno de 32 muestras, con todos los ceros, excepto el segundo, que se establece en 5. Para este conjunto de muestras, la calculadora exhibe gráficos de valores reales, valores imaginarios, valores de magnitud y valores de fase. También dibuja gráficos con todas las sinusoides y con la señal sumada. Puede cambiar las muestras como desee: los gráficos se actualizarán en consecuencia.

Ahora es momento de desarrollar alguna teoría. La base para el análisis de Fourier es la afirmación de que la señal podría representarse como la suma de las ondas sinusoidales elegidas correctamente. ¿Por qué se usan las sinusoides? Porque son más fáciles de tratar que la señal original, o cualquier otra forma de ondas. Y tienen una propiedad útil: fidelidad sinusoidal, que es una entrada sinusoidal para un sistema que garantiza una salida sinusoidal. Solo la amplitud y la fase pueden cambiar, la frecuencia y la forma de onda permanecerán.

Hay cuatro tipos de Transformada de Fourier: Transformada de Fourier (para señales continuas aperiódicas), Series de Fourier (para señales continuas periódicas), Transformada de Fourier de Tiempo Discreto (para señales discretas aperiódicas), Transformada Discreta de Fourier (para señales discretas periódicas). Todas las transformadas tratan con señales extendidas hasta el infinito. En la computadora, tenemos un número finito de muestras. Por lo tanto, para usar las Transformadas de Fourier, solo pretendemos que nuestras muestras finitas tengan un número infinito de muestras a la izquierda y a la derecha de nuestros datos reales. Y estas muestras siguen repitiendo nuestros datos reales. Por lo tanto, al simular que nuestras muestras son una señal periódica discreta, en los algoritmos informáticos usamos la Transformada Discreta de Fourier (DFT). (Si rellenamos nuestros datos reales con ceros, por ejemplo, en lugar de repetir, obtendremos una señal aperiódica discreta. Dicha señal requiere un número infinito de sinusoides. Por supuesto, no podemos usarla en algoritmos informáticos).

También tenga en cuenta que cada una de las Transformadas de Fourier tiene versiones reales y complejas. La versión real es la más sencilla y utiliza números ordinarios para entrada (muestras de señales, etc.) y salida. La versión compleja utiliza números complejos con parte imaginaria. Aquí nos quedamos con DFT real, porque es más fácil de visualizar y entender.

La DFT cambia los puntos N de la señal de entrada en dos puntos N/2+1 de las señales de salida. La señal de entrada es justamente la señal de entrada, y dos señales de salida son las amplitudes de las ondas senoidal y cosenoidal. Por ejemplo, para representar la señal del dominio de tiempo de 32 puntos en el dominio de frecuencia, necesita 17 ondas cosenoidales y 17 ondas senoidales.

La señal de entrada está en el dominio de tiempo, las señales de salida están en el dominio de frecuencia. El proceso de cálculo del dominio de frecuencia se denomina descomposición, análisis, la DFT directa o simplemente DFT. El proceso opuesto se llama síntesis o la DFT inversa.

La señal de dominio de tiempo se representa con una letra minúscula, es decir, x[ ], y la señal de dominio de frecuencia se representa con una letra mayúscula, es decir, X[ ]. Dos partes de la señal de salida se llaman Parte Real de X[ ] o Re X[ ], y Parte imaginaria pf X[ ] o Im X[ ]. Los valores de Re X[ ] son amplitudes de las ondas cosenoidales, y los valores de Im X[ ] son amplitudes de las ondas sinusoidales. Los nombres reales e imaginarios provienen de DFT general que opera en números complejos. Para la DFT real son solo amplitudes de ondas cosenoidales y sinusoidales.

Las ondas sinusoidales y cosenoidales se denominan funciones básicas de DFT, son ondas con una unidad de amplitud. Las funciones básicas de DFT tienen las siguientes ecuaciones:
$c_k[i]=cos(\frac{2\pi k i}{N})\\s_k[i]=sin(\frac{2\pi k i}{N})$ ,
donde i cambia de 0 a N-1, k cambia de 0 a N/2.

Cada amplitud de Re X y Im X se asigna a la onda sinusoidal o cosenoidal adecuada y el resultado se puede sumar para formar nuevamente la señal del dominio de tiempo. La ecuación de síntesis es:
$x[i]=\sum_{k=0}^{N/2}Re\bar{X}[k]cos(\frac{2\pi ki}{N})+\sum_{k=0}^{N/2}Im\bar{X}[k]sin(\frac{2\pi ki}{N})$
Es decir, se puede crear cualquier punto a partir de la señal de puntos N agregando valores de onda cosenoidal N/2+1 y valores de onda sinusoidal N/2+1 en el mismo punto.

Note la barra sobre X en la fórmula de arriba. Esto se debe a que las amplitudes para la síntesis deben obtenerse escalando los valores de amplitud del dominio de frecuencia originales. Estas amplitudes deben normalizarse utilizando las siguientes ecuaciones:
$Re\bar{X}[k]=\frac{ReX[k]}{N/2}\\Im\bar{X}[k]=-\frac{ImX[k]}{N/2}$ ,
con dos casos especiales:
$Re\bar{X}[0]=\frac{ReX[0]}{N}\\Re\bar{X}[N/2]=\frac{ReX[N/2]}{N}$

Las partes reales e imaginarias se pueden representar en notación polar usando la siguiente relación:
$Acos(x)+Bsin(x)=Mcos(x+\theta)$
M y theta se llaman Magnitud y Fase y se pueden calcular a partir de Re y Im usando las siguientes relaciones:
$MagX[k]=(ReX[k]^2+ImX[k]^2)^{\frac{1}{2}}\\PhaseX[k]=arctan(\frac{ImX[k]}{ReX[k]})$

Así, en notación polar, la DFT descompone una señal de punto N en ondas cosenoidales N/2+1 con amplitud y cambio de fase especificados. A veces, los gráficos para Magnitud y Fase tienen más sentido que los gráficos para Re y Im.

Ahora, volvamos a la ecuación de síntesis original:
$x[i]=\sum_{k=0}^{N/2}Re\bar{X}[k]cos(\frac{2\pi ki}{N})+\sum_{k=0}^{N/2}Im\bar{X}[k]sin(\frac{2\pi ki}{N})$
Esto puede explicar por qué podemos realizar DFT, es decir, encontrar las amplitudes Re y Im. Tenga en cuenta que en esta ecuación, ImX[0] y ImX[N/2] siempre serán cero. Por lo tanto, para cada uno de los puntos N, la ecuación contiene solo términos N.
Entonces tenemos un sistema de ecuaciones lineales con ecuaciones N para coeficientes N desconocidos, que se pueden resolver, por ejemplo, usando la eliminación de Gauss.

Por supuesto, para la N grande, nadie usa la eliminación de Gauss, porque es demasiado lenta. Aquí es donde la Transformada Rápida de Fourier (FFT) realmente brilla. Es un método rápido para calcular los valores de Re y Im.
Sin embargo, FFT se basa en DFT complejo, versión más general de DFT. Para los puntos N complejos (con partes reales e imaginarias) de la señal de entrada, calcula puntos N complejos de la señal de salida. La pregunta es, ¿cómo podemos relacionarlo con DFT real?

Afortunadamente, es bastante fácil. Si tiene una señal de puntos N, coloque estos puntos en la parte real de la señal de entrada compleja, ajuste la parte imaginaria de la señal de entrada a todos ceros, aplique FFT y los primeros puntos N/2+1 de la parte real y los puntos N/2+1 de la parte imaginaria de la señal de salida corresponderán a su DFT real.

La siguiente calculadora le permite jugar con DFT. Puede cambiar la señal de entrada como desee. La calculadora aplica FFT a su señal (utilizando la implementación de FFT en javascript desde Proyecto Nayuki). Luego muestra los gráficos de Re X[ ], Im X[ ], Mag X[ ], Fase X[ ], y visualiza la síntesis utilizando ondas sinusoidales y cosenoidales, y utilizando ondas cosenoidales con cambio de fase, para que pueda comprender cómo todas estas ondas se resumen para recrear la señal original del dominio de tiempo de entrada.

El Entorno de Pruebas de la Transformada Discreta de Fourier

Muestras

	Número de Muestra	Valor de Muestra

Cálculo preciso

Dígitos después del punto decimal: 2

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