Calculadora de polinomios de Lagrange
Esta calculadora en línea construye el polinomio de Lagrange para un conjunto determinado de puntos, muestra una solución paso a paso y traza el polinomio de Lagrange así como sus polinomios base en un gráfico. Además, puede interpolar puntos adicionales, si se le da
Escribí esta calculadora para poder verificar las soluciones a los problemas de interpolación de Lagrange. En estos problemas a menudo se pide que se interpola el valor de la función desconocida correspondiente a un determinado valor x, utilizando la fórmula de interpolación de Lagrange a partir del conjunto de datos dado, es decir, un conjunto de puntos x, f(x).
La calculadora que figura a continuación puede ayudar en lo siguiente:
- Encuentra la fórmula polinómica final de Lagrange para un conjunto de datos dado.
- Muestra la derivación de la fórmula paso a paso.
- Interpola la función desconocida calculando el valor del polinomio de Lagrange en los valores x dados (puntos de interpolación)
- Traza el conjunto de datos, los puntos interpolados, el polinomio de Lagrange y sus polinomios base en el gráfico.
Uso
Primero, introduzca los puntos de datos, un punto por línea, en la forma x f(x), separados por espacios. Si desea interpolar la función por el polinomio de Lagrange, introduzca los puntos de interpolación en el siguiente campo, solo valores x, separados por espacios.
Por defecto, la calculadora muestra la fórmula final y los puntos de interpolación. Si quiere ver una solución paso a paso para la fórmula del polinomio, active la opción "Mostrar solución paso a paso". El gráfico de la parte inferior muestra el polinomio de Lagrange, así como sus polinomios base. Estos pueden ser desactivados.
También puede encontrar alguna teoría sobre el polinomio de Lagrange debajo de la calculadora.
Calculadora de polinomios de Lagrange
Polinomio de Lagrange
Supongamos que tenemos un conjunto de puntos de datos para la función desconocida, donde no hay dos x iguales:
Construyamos el siguiente polinomio (llamado polinomio de Lagrange):
donde es el polinomio base de Lagrange
Si se mira la fórmula del polinomio base para cualquier j, se puede encontrar que para todos los puntos i no igual a j el polinomio base para j es cero, y en el punto j el polinomio base para j es uno. Es decir,
y
lo que significa que el polinomio de Lagrange interpola la función exactamente.
Nótese que la fórmula de interpolación de Lagrange es susceptible al fenómeno de Runge. Se trata de un problema de oscilación en los bordes de un intervalo cuando se utilizan polinomios de alto grado sobre un conjunto de puntos de interpolación equidistantes. Es importante tenerlo en cuenta, porque significa que ir a grados más altos (es decir, tener más puntos de datos en el conjunto) no siempre mejora la precisión de la interpolación.
Sin embargo, también hay que tener en cuenta que, a diferencia de otras fórmulas de interpolación, la fórmula de Lagrange no requiere que los valores de x sean equidistantes. Se utiliza en algunas técnicas para mitigar el problema, como el cambio de puntos de interpolación utilizando nodos de Chebyshev.
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