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Números complejos

La calculadora muestra el número complejo y su conjugado en el plano complejo, evalúa el valor absoluto del número complejo y el valor principal del argumento. También demuestra operaciones elementales en números complejos.

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Juan Manuel Gimenez

Juan Manuel Gimenez

Creado: 2019-08-01 08:04:16, Última actualización: 2020-11-03 14:19:37

A partir del siglo XVI, los matemáticos enfrentaron la necesidad de usar los números especiales, conocidos hoy en día como números complejos. El número complejo es un número de la forma a+bi, donde a,b - números reales, i - unidad imaginaria es una solución de la ecuación: i2=-1.

Es interesante rastrear la evolución de las opiniones de los matemáticos sobre los problemas de los números complejos. Aquí hay algunas citas de trabajos antiguos sobre este tema:

*Siglo 16: Así progresa la sutileza aritmética al final
del cual... es tan refinada como inútil. 1

  • Siglo XVII: este milagro del análisis, esta maravilla del mundo de las ideas, un objeto casi anfibio entre el ser y el no ser que llamamos el número imaginario.2
  • Siglo XVIII: las raíces cuadradas de los números negativos no son iguales a cero, no son menores que cero, no son mayores que cero. Las raíces cuadradas de los números negativos no pueden pertenecer a los números reales, por lo que son números irreales. Esta circunstancia hace pensar en los números, que son inherentemente imposibles y generalmente se llaman imaginarios, porque solo se pueden imaginar en la mente. 3
  • Siglo XIX: Nadie cuestiona la exactitud de los resultados que obtenemos mediante el cálculo de cantidades imaginarias, aunque no son más que formas algebraicas, y los jeroglíficos de cantidades irreales. 4

Se utilizan varias maneras para definir los números complejos. Mostraremos tres de ellos.

Forma algebraica

z = a + bi,
donde a y b - números reales, i - unidad imaginaria, de modo que i2=-1. a - corresponde a la parte real, b - parte imaginaria.

Forma polar

z = r (\cos \vaphi +i \sin \varphi),
donde r - valor absoluto del número complejo:
r = |z| =\sqrt{a^2+b^2}
es una distancia entre el punto 0 y el punto complejo en el plano complejo, y φ es un ángulo entre el eje real positivo y el vector complejo (argumento).

Forma exponencial (forma de Euler)

z = r e^{i\varphi} es una versión simplificada de la forma polar seguida de la fórmula de Euler.

PLANETCALC, Número complejo

Número complejo

Dígitos después del punto decimal: 2
En forma polar
 
En forma de Euler
 
Número complejo
 
Valor absoluto
 
Valor principal del argumento (rad)
 
Valor principal del argumento (grados)
 
Conjugado
 
Plano complejo
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El argumento del número complejo es una función multivalor arg(z)=\varphi+2\pi{k}, para el entero k. El valor principal del argumento es un valor único en el período abierto (-π..π].
El valor principal se puede calcular a partir de la forma algebraica utilizando la siguiente fórmula:
\varphi =\arg(z)={\begin{cases}\arctan \left({\dfrac {y}{x}}\right)&{\text{if }}x>0\\\arctan \left({\dfrac {y}{x}}\right)+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\\arctan \left({\dfrac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0\\{\dfrac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0\\-{\dfrac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0\\{\text{indeterminate }}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}
Este algoritmo se implementa en la función javascript Math.atan2.

Todas las operaciones aritméticas elementales se definen para un número complejo:

PLANETCALC, Operaciones elementales de números complejos

Operaciones elementales de números complejos

Dígitos después del punto decimal: 2
Resultado (z)
 
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Suma de números complejos

Se puede agregar un número complejo a otro de la misma manera que los polinomios:
z_1+z_2 = (a_1+a_2)+(b_1+b_2)i

Multiplicación de números complejos

Usando la definición de números complejos i*i=-1, podemos elaborar fácilmente la fórmula de multiplicación de números complejos:
z_1 \dot z_2 = ({a_1}{a_2}-{b_1}{b_2}) + ({a_1}{b_2}+{a_2}{b_1})i

División de números complejos

Para derivar la fórmula de división de números complejos, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado de números complejos (para eliminar la unidad imaginaria en el denominador):
\frac{z_1}{z_2}=\frac{{z_1}\overline {z_2}}{{z_2}\overline {z_2}}
El conjugado se define como:
\overline z = a-b i
Entonces la fórmula de división final es:
\frac{z_1}{z_2}=\frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2}+\frac{b_1a_2-a_1b_2}{a_2^2+b_2^2}i

Cálculo de la potencia de números complejos

Usando la forma de Euler, esto parece bastante simple:
z^n=r^ne^{{i}{n}\phi}
Esta fórmula se deriva de la fórmula de De Moivre:
{\big (}\cos(x)+i\sin(x){\big )}^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx)

Cálculo de la raíz de enésimo grado

De la fórmula de De Moivre, las enésimas raíces de z (el poder de 1/n) están dadas por:
\sqrt[n]{z} = r^{\frac {1}{n}}\left(\cos {\frac {x+2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {x+2\pi k}{n}}\right),
hay raíces n, donde k = 0..n-1 - un índice entero de la raíz. Las raíces se pueden mostrar en el plano complejo como vértices poligonales derechos.

  1. G. Cardano, El gran arte o las reglas del álgebra, (1539) ↩

  2. G. Leibniz, (según Wikipedia) ↩

  3. L. Euler, Aritmética Universal, (1768) § 142-143 ↩

  4. L. Carnot, Reflexiones sobre los principios metafísicos del análisis infinitesimal (1797) Tr. por W.R. Brownell p. 104 ↩

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