Calculadora en línea: Ángulo de rumbo y distancia entre los dos puntos de la loxodrómica (línea de rumbo).

En el siglo XVI, el geógrafo flamenco Gerhard Mercator confeccionó un mapa de navegación del mundo que representaba la superficie terrestre en un plano para que los ángulos del mapa no se distorsionaran.
En la actualidad, este método de imagen de la Tierra se conoce como proyección cilíndrica conforme de Mercator. Este mapa era muy cómodo para los marineros, ya que para ir del punto A al punto B en el mapa de Mercator bastaba con trazar una línea recta entre estos puntos, medir su ángulo con respecto al meridiano y atenerse constantemente a esta dirección, por ejemplo, utilizando un sextante y una estrella polar como punto de referencia o utilizando una brújula magnética (en realidad no es tan sencillo con la brújula, ya que no siempre apunta al norte verdadero).
La proyección Mercator se sigue utilizando ampliamente para los mapas de navegación.

Incluso los antiguos marineros se dieron cuenta de que la línea de rumbo no siempre es el camino más corto entre los dos puntos, y es evidente para las distancias largas. Si se traza una línea en el globo terráqueo, que cruce todos los meridianos en el mismo ángulo, queda claro por qué ocurre esto. La línea recta del mapa de Mercator se convierte en el globo terráqueo en una espiral que gira sin cesar hacia los polos. Esa línea se llama loxodrómica, que significa "carrera oblicua" en griego.
La siguiente calculadora calcula el ángulo de rumbo y la distancia de la travesía transatlántica desde Las Palmas (España) hasta Bridgetown (Barbados) en la loxodrómica. La distancia resultante difiere en decenas de kilómetros del camino más corto (vea Calculadora de distancia)

Para el cálculo del ángulo de rumbo se utilizan las siguientes fórmulas:
$\alpha = \arctan \left(\frac{{\Delta}\lambda}{{\ln\left(tan(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi_2}{2})\cdot\left[\frac{1-e\cdot \sin{\varphi_2}}{1+e\cdot \sin{\varphi_2}}\right]^{\frac{e}{2}}\right)}-{\ln\left(tan(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi_1}{2})\cdot\left[\frac{1-e\cdot \sin{\varphi_1}}{1+e\cdot \sin{\varphi_1}}\right]^{\frac{e}{2}}\right)}}\right)$ ¹
donde
$\Delta}\lambda = \begin{cases}\lambda_2-\lambda_1 &{\text{if }} |\lambda_2-\lambda_1|\leq180\textdegree\\360\textdegree+\lambda_2-\lambda_1 &{\text{if }} \lambda_2-\lambda_1{<}-180\textdegree\\\lambda_2-\lambda_1-360\textdegree &{\text{if }} \lambda_2-\lambda_1{>}180\textdegree\end{cases}$ ²
La longitud de la loxodrómica se calcula mediante la siguiente fórmula:
$S=a\cdot\sec\alpha\left[\left(1-\frac{1}{4}e^2\right)\Delta\varphi-\frac{3}{8}e^2(\sin{2\varphi_2}-\sin{2\varphi_1})\right]$ ³

, donde $\varphi_1,\lambda_1$ - latitud y longitud del primer punto
$\varphi_2,\lambda_2$ - latitud y longitud del segundo punto
$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$ -la excentricidad del esferoide (a - la longitud del semieje mayor, b - la longitud del semieje menor)

En los ángulos de 90 ° o 270 °, para el cálculo de la longitud de arco se utilizó la siguiente fórmula
$S=a\cdot|\lambda_2-\lambda_1|\cdot\cos\left(\varphi\right)$

V.S. Mikhailov, Navigation and Pilot book]] ↩
Noè Murr comment ↩
Miljenko Petrović DIFFERENTIAL EQUATION OF A LOXODROME ON THE SPHEROID ↩

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