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Ecuación cúbica

Solución a una ecuación cúbica utilizando las fórmulas de Vieta. Creada a petición de un usuario.

La forma canónica de una ecuación cúbica es

ax^3+bx^2+cx+d=0

Las fórmulas de Vieta se utilizan para resolver las ecuaciones de la forma

x^3+ax^2+bx+c=0

entonces, el primer paso es dividir todos los coeficientes entre "a".

Aquí está la calculadora, la descripción del cálculo utilizando las fórmulas de Vieta se encuentra debajo.

Creada en PLANETCALC

Ecuación cúbica

Dígitos después del punto decimal: 2
x1
 
x2
 
x3
 

El único lugar donde conseguí información sobre las fórmulas de Vieta para ecuaciones cúbicas fue here

Primero calculamos
Q=\frac{a^2-3b}{9}R=\frac{2a^3-9ab+27c}{54}

Luego

S=Q^3-R^2

Si S > 0, entonces

\phi = \frac{1}{3}\arccos\left(\frac{R}{\sqrt{Q^3}}\right)

y obtenemos tres raíces reales:

x_1=-2\sqrt{Q}\cos(\phi)-\frac{a}{3}x_2=-2\sqrt{Q}\cos\left(\phi+\frac{2}{3}\pi\right)-\frac{a}{3}x_3=-2\sqrt{Q}\cos\left(\phi-\frac{2}{3}\pi\right)-\frac{a}{3}

Si S < 0, las funcions trigonométricas son reemplazadas por hiperbólicas. Dependiendo del signo de Q.

Q > 0:
\phi = \frac{1}{3}\,\operatorname{Arch}\left(\frac{|R|}{\sqrt{Q^3}}\right)x_1=-2sgn(R)\sqrt{Q}\,\operatorname{ch}(\phi)-\frac{a}{3}
(raíz real)

x_{2,3}=sgn(R)\sqrt{Q}\,\operatorname{ch}(\phi)-\frac{a}{3} \pm i \sqrt{3}\sqrt{Q}\,\operatorname{sh}(\phi)

(dos raíces compleja)

Q < 0:

\phi = \frac{1}{3}\,\operatorname{Arsh}\left(\frac{|R|}{\sqrt{|Q|^3}}\right)x_1=-2sgn(R)\sqrt{|Q|}\, \operatorname{sh}(\phi)-\frac{a}{3}
(raíz real)

x_{2,3}=sgn(R)\sqrt{|Q|}\, \operatorname{sh}(\phi)-\frac{a}{3} \pm i \sqrt{3} \sqrt{|Q|}\,\operatorname{ch}(\phi)

(dos raíces complejas)

Si S = 0, entonces es una ecuación singular y sólo tiene dos raíces reales:

x_1=-2sgn(R)\sqrt{Q}-\frac{a}{3}=-2\sqrt[3]{R}-\frac{a}{3}x_2=sgn(R)\sqrt{Q}-\frac{a}{3}=\sqrt[3]{R}-\frac{a}{3}

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