Инволюта угла

Вычисление инволюты угла и нахождение угла по заданной инволюте.

Este contenido se encuentra disponible en Русский

Aquí puede editar una traducción de Русский a Español

Este contenido se encuentra disponible en English

Aquí puede editar una traducción de English a Español

Поступила вот просьба сделать калькулятор для расчета цилиндрических шестерён — Техника,машиностроение.
Погружаясь в тему шестерён и их расчетов, встретил понятие инволюта, а потом — эвольвента. Показалось занятным и заслуживающим отдельных калькуляторов. Калькуляторы смотри ниже — первый рассчитывает инволюту, два следующих по заданной инволюте находят угол. Интересующимся — текст про инволюту после калькуляторов.

Создано на PLANETCALC

Инволюта угла

Знаков после запятой: 6
Инволюта
 



Создано на PLANETCALC

Нахождение угла по инволюте методом Ласкина

Знаков после запятой: 2
Угол (градусы)
 



Создано на PLANETCALC

Нахождение угла по инволюте методом Ченга

Знаков после запятой: 2
Угол (градусы)
 



Так вот, в дифференциальной геометрии кривых эвольвента — это кривая, нормаль в каждой точке которой является касательной к исходной кривой (см. Эвольвента в Википедии).

Поскольку сразу осознать сказанное выше сложно, перескажу своими словами более образное определение, данное в английской версии статьи (см. Involute on Wikipedia).

Итак, представим себе катушку ниток, где свободный край нити лежит на катушке. Если взять этот край и начать разматывать нить, все время держа ее натянутой, край нити опишет некую кривую, которая и будет эвольвентой, причем эвольвентой окружности (катушка суть исходная кривая, представляющая собой окружность).

Рисунок ниже изображает эвольвенту окружности (Источник — Википедия). Красная линия — исходная кривая (окружность), черная — натянутая нить, зеленая — траектория конца нити, кривая, называемая эвольвентой окружности.

Animated_involute_of_circle.gif

Что касается инволюты — в англоязычных источниках, как я понял, термин инволюта (involute) применяется взаимозаменяемо с термином эвольвента (evolvent). То есть может обозначать как саму кривую, так и ее функцию. В русскоязычных источниках, которые я видел, эвольвента - это кривая, а инволюта - ее функция.

Думаю, что такое эвольвента, стало более менее ясно после картинки сверху. Теперь разберемся, что это за функция такая.
В этом нам поможет рисунок, который я нарисовал
evolvent.JPG

На рисунке отрезок M_xN равен дуге M_0N (потому что эта наша «нить»). Угол «фи», соответствующий дуге M_0N называется углом развернутости эвольвенты, и состоит суммы угла «тета» (эвольвентного угла) и угла «альфа» (угла давления). Длина дуги M_0N=r_0(\alpha_x+\theta_x)

Поскольку M_xON — прямоугольный треугольник, то M_xN=r_0tg\alpha_x

Приравнивая эти две дуги друг к другу, получим r_0(\alpha_x+\theta_x)=r_0tg\alpha, откуда \theta_x=tg\alpha_x-\alpha_x

Вот эта-то функция — \theta_x=tg\alpha_x-\alpha_x и называется инволютой, или эвольвентной функцией.

inv(\alpha_x)=tg\alpha_x-\alpha_x

Уравнения эвольвентной кривой в полярных координатах выглядят так
\theta_x=inv(\alpha_x)r_x=\frac{r_0}{cos\alpha_x}

По построению видно, что угол «альфа» может меняться от 0 до 90, не включая 90, так как в таком случае прямая KK будет параллельна MxN.

Зачем это все? Эвольвента окружности используется в эвольвентном зацеплении — зубчатом зацеплении, в котором профили зубьев очерчены по эвольвенте окружности. При эвольвентном зацеплении общая нормаль к соприкасающимся профилям зубьев всегда совпадает с общей касательной к основным окружностям. Эта касательная называется линией зацепления, так как по ней перемещается точка касания зубьев при движении колёс (картинка). Это наиболее распространенный вид зубчатого зацепления.

А инволюта используется в расчетах, связанных с эвольвентным зацеплением. Причем возникает задача как расчета самой инволюты (что просто), так и обратная задача — нахождение угла давления по его инволюте. Вот обратная задача является не такой простой, ибо уравнение I=tg(x)-x является трансцендентным уравнением, и решить его можно только численными методами.

В завершение рассмотрим численные методы, использованные в калькуляторах выше — метод Ласкина и метод Ченга (подробнее — здесь)

Метод Ласкина (Laskin)
Основан на методе Ньютона, заключающемся в итерационной процедуре вычисления

x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

Ноу-хау, как я понимаю, здесь в выборе начального значения, которое по методу Ласкина вычисляется как
x_1 = 1.441I^{\frac{1}{3}}-0.374I, где I — заданное значение инволюты.

Для вычисления следующих приближений после раскрытия производной получается выражение

x_{n+1}=x_{n}+\frac{I-inv(x_n)}{tan(x_n)^2}

В калькуляторе используется пять итераций, но уже четыре должны давать точность до шести знаков после запятой. Метод работает для значений инволюты в диапазоне от 0 до 1, то есть можно находить углы от 0 до 64.87 градусов. На практике этого хватает. Для нахождения инволюты выпускаются таблицы, подобные таблицам тригонометрических функций, так вот там приводимый диапазон углов от 0 до 60.

Метод Ченга (Cheng)
Основан на нахождении приближенного значения с помощью асимптотических кривых. Ченг вывел следующую формулу:

x = (3I)^{\frac{1}{3}}-\frac{(2I)}{5} + (\frac{9}{175})(3)^{\frac{2}{3}}(I)^{\frac{5}{3}} - (\frac{2}{175})(3)^{\frac{1}{3}}(I)^{\frac{7}{3}} - (\frac{144}{67375})(I)^3 + (\frac{3258}{3128125}) (3)^{\frac{2}{3}}(I)^{\frac{11}{3}} - (\frac{49711}{153278125}) (3)^{\frac{1}{3}}(I)^{\frac{13}{3}}...

Метод работает для значения инволюты строго меньших 1.8, то есть может находить углы примерно до 71.87 градуса. А дальше оно и не надо — при приближении к 90 тангенс стремится к бесконечности, со всеми вытекающими отсюда последствиями, и, в общем, ну не бывает зубчатых передач с такими большими углами.

Comentarios