Подсчет труб с торца

Подход к подсчету числа вложенных окружностей меньшего радиуса при известной длине описывающей окружности большего радиуса. Создано по запросу пользователя.

Este contenido se encuentra disponible en Русский

Aquí puede editar una traducción de Русский a Español

Este contenido se encuentra disponible en English

Aquí puede editar una traducción de English a Español

Собственно, идем по следам запроса подсчет труб с торца.

Если вкратце — имеется пучок труб, чем-то связанных. Длину «веревки» можно померить. Радиус одной трубы — тоже. Требуется определить число труб в пучке без утомительного пересчитывания — расчетом.

Здравый смысл, впрочем, подсказывает, что расчетом совсем точно число труб в пучке определить нельзя — слишком много факторов. Окружность может быть неправильной, например, трубы могут улечься неравномерно и т. д.

Так что совсем без пересчитывания не получится, но задача сама по себе интересная, и можно попытаться вывести оценку сверху. Ну то есть рассчитать число труб для некоего идеального случая, тогда в реальности в пучке будет не больше труб, чем было рассчитано.

Калькулятор, который делает оценку сверху ниже, а рассуждения, которые привели к выводу этой оценки, как водится, под ним — для любознательных.

Создано на PLANETCALC

Подсчет числа упакованных окружностей

Знаков после запятой: 2
Примерная общая площадь
 
Площадь одной окружности
 
Примерная полезная площадь
 
Число окружностей (оценка сверху)
 
Расчет можно сохранить, чтобы использовать в другой раз или поделиться с друзьями.

Идеальный случай — все трубы лежат ровно, правильная окружность и т. п. В общем, некоторые упрощения задачи, позволяющие применить геометрические знания и математический расчет :)

Кстати, оценку сверху тоже можно получать несколькими способами, и, в общем, они будут справедливы. Тут ведь главное как можно ближе приблизиться к реальному числу.

Например, вот самая простая оценка сверху:

  1. По длине описывающей окружности находим ее площадь, или площадь сечения всего пучка:
    l=2\pi RR=\frac{l}{2\pi}S=\pi R^2=\pi\frac{l^2}{4\pi^2}=\frac{l^2}{4\pi}

  2. По радиусу трубы находим ее площадь сечения:
    S_t=\pi R_t^2

  3. Делим общую площадь сечения на площадь сечения одной трубы.

Очевидно, что это будет оценка сверху — больше труб, чем получится в результате, в данную окружность не впихнешь. Но эта оценка сверху будет не очень точной, так как очевидно, что трубы лежат не вплотную друг к другу, а с зазорами, и часть общей площади сечения расходуется на дырки между трубами. См. картинку

basic1.jpgНадо учесть эти потери и сделать оценку числа труб более точной. Для начала разберемся с площадью зазора между трубами. Для этого рассмотрим треугольник, вершины которого образованы центрами соприкасающихся окружностей. Каждая сторона, очевидно, равна двум радиусам, и по формуле Герона его площадь равна \sqrt{3}R^2. Площадь эта состоит из полезного пространства, занятого тремя секторами (от каждой окружности), и дырки. Сектора эти, очевидно, имеют угол в 180 градусов, а значит площадь всех трех секторов равна половине площади окружности \frac{\pi R^2}{2}.
Таким образом, отношение полезной площади к общей площади треугольника равно \frac{S_p}{S_o}=\frac{\frac{\pi R^2}{2}}{\sqrt{3}R^2}=\frac{\pi}{2\sqrt{3}}
Самое замечательное в этом выводе то, что это соотношение никоим образом не зависит от радиуса.

basic2.jpgИдем дальше. Как видно из рисунка, «неплотно» упакованные окружности можно представить в виде «плотно» упакованных треугольников с дыркой посередине. Таким образом, имея общую площадь всего пучка, и считая, что это пучок треугольников — из соотношения выведенного выше, можно найти, сколько полезной площади в данном пучке — после чего разделить полученную полезную площадь на площадь одной окружности, получив, таким образом, еще одну оценку сверху числа труб в пучке.

Внимательный читатель может сказать — а как же потери площади на границе пучка? Визуально они больше, чем потери внутри пучка. Это действительно так. Но! Во-первых, это никоим образом не отменяет того, что мы получаем оценку сверху — как оценка сверху, она остается справедливой — ведь если потери площади на границах больше, то труб войдет немного меньше, чем мы рассчитали. Во-вторых, а насколько эти потери больше? Можно ли это оценить? Этим я сейчас и займусь.

basic3.jpgИтак, плотно упакованный пучок (кстати, то, что самой плотной упаковкой является вариант, при котором каждая окружность окружена шестью другими, доказано математически) можно представить как упакованные треугольники и упакованные прямоугольники, плюс одна окружность, образованная сгибами.

Потери площади в прямоугольниках, действительно, больше. Применяя те же самые рассуждения, получаем, что отношение полезной и общей площади \frac{S_p}{S_o}=\frac{\frac{\pi R^2}{2}}{2R^2}=\frac{\pi}{4}. Величина опять постоянная, и их можно сравнить — полезной площади в прямоугольнике меньше в \frac{\frac{\pi}{4}}{\frac{\pi}{2\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}=0.866 раз.

То есть, общую площадь пучка заполняют треугольники с соотношением полезной площади \frac{\pi}{2\sqrt{3}}, прямоугольники с соотношением полезной площади \frac{\pi}{4} и еще одна «полезная» окружность. Таким образом, общая полезная площадь, исходя из которой можно найти число труб в пучке состоит из
S_p=\frac{\pi}{2\sqrt{3}}S_{triangles}+\frac{\pi}{4}S_{rectangles}+S_{circle}

Честно говоря, думать о том, как найти общую площадь треугольников и общую площадь прямоугольников было уже лень, но представляется очевидным, что с увеличением радиуса пучка число прямоугольников растет пропорционально длине окружности, а значит, радиусу, а вот число треугольников растет пропорционально площади окружности, а значит, квадрату радиуса — то есть быстрее. Отсюда следует, что при достаточно большом (по сравнению с радиусом одной окружности) общем радиусе пучка прямоугольной составляющей можно пренебречь, точнее, считать ее потери равными потерям треугольной составляющей, и тогда полезная площадь в пучке будет равна
S_p=\frac{\pi}{2\sqrt{3}}(S_o-S_{circle})+S_{circle}, а число труб в пучке, соответственно \frac{S_p}{S_{circle}}, которое смело можно округлять до ближайшего большего. Все ж таки оценка сверху.

Напомним, что речь идет о большом пучке, так как в маленьком (см. последнюю картинку) опоясывающая «веревка» вовсе не приближается по форме к окружности, то чем больше пучок по сравнению с одной окружностью, тем ближе его форма к одной большой окружности — такое вот упрощение.

Мне тут обещали пересчитать трубы и сравнить практику с теорией — теперь буду ждать.

Comentarios