Calculadora en línea: Solución a un sistema de 3 ecuaciones lineales

Hay fórmulas comunes para las soluciones de sistemas de 3 ecuaciones lineales tales como
$\left{a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2\\a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3$

Usualmente se expresan utilizando la determinante de matrices 3x3, la cual se define como
$\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$

La solución será
$x=\frac{\left|\begin{matrix} b_1 & a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right|}{\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right|}\\y=\frac{\left|\begin{matrix} a_{11} & b_1& a_{13} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33} \end{matrix} \right|}{\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right|}\\z=\frac{\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & b_3 \end{matrix} \right|}{\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right|}$
entonces cada variable es el resultado de la división de dos determinantes.

La solución puede caer en tres casos distintos

La determinante en el denominador no es cero
$\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right|<>0$
entonces el sistema tiene una sola solución
La determinante en el denominador es cero, pero todos los numeradores son distintos a cero
$\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right|=0\\\left|\begin{matrix} b_1& a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right|<>0\\\left|\begin{matrix} a_{11} & b_1& a_{13} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33} \end{matrix} \right|<>0\\\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & b_3 \end{matrix} \right|<>0$
entonces el sistema no tiene solución
La determinante en el denominador es cero y todos los numeradores son ceros $\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right|=0\\\left|\begin{matrix} b_1& a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right|=0\\\left|\begin{matrix} a_{11} & b_1& a_{13} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33} \end{matrix} \right|=0\\\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & b_3 \end{matrix} \right|=0$
entonces hay infinitas soluciones, ya que una ecuación es una combinación lineal de las otras

Solución a un sistema de 3 ecuaciones lineales

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

Cálculo preciso

Dígitos después del punto decimal: 2

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